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第 24 题
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小王在学习浙教版九上课本第 72 页例 2 后，进一步开展探究活动：将一个矩形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
绕点
A
A
A
顺时针旋转
α
(
0
∘
<
α
≤
90
∘
)
\alpha\left(0^{\circ}<\alpha \leq 90^{\circ}\right)
α
(
0
∘
<
α
≤
9
0
∘
)
，得到矩形
A
B
′
C
′
D
′
AB^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}
A
B
′
C
′
D
′
，连结
B
D
BD
B
D
。 ［探究1］如图1，当
α
=
90
∘
\alpha=90^{\circ}
α
=
9
0
∘
时，点
C
′
C^{\prime}
C
′
恰好在
D
B
DB
D
B
延长线上．若
A
B
=
1
AB=1
A
B
=
1
，求
B
C
BC
B
C
的长． ［探究 2］如图 2，连结
A
C
′
AC^{\prime}
A
C
′
，过点
D
′
D^{\prime}
D
′
作
D
′
M
∥
A
C
′
D^{\prime} M \| AC^{\prime}
D
′
M
∥
A
C
′
交
B
D
BD
B
D
于点
M
M
M
。线段
D
′
M
D^{\prime} M
D
′
M
与
D
M
DM
D
M
相等吗？请说明理由． ［探究 3］在探究 2 的条件下，射线
D
B
DB
D
B
分别交
A
D
′
,
A
C
′
AD^{\prime}, AC^{\prime}
A
D
′
,
A
C
′
于点
P
,
N
P, N
P
,
N
（如图 3），发现线段
D
N
,
M
N
,
P
N
DN, MN, PN
D
N
,
M
N
,
P
N
存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明。
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