如图，数轴上点 M M M A -0.5 B 0.5 C 1.5 D 2.5 ▶ 查看答案和解析 答案: C
【解析】 【分析】根据点 M M M 【详解】解：由数轴可知，点 M M M M M M 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
数轴与有理数
角度 26.5 ∘ 26.5^{\circ} 26. 5 ∘ A 26°5＇ B 26°30＇ C 26°35＇ D 26°50＇ ▶ 查看答案和解析 答案: B
【解析】
【详解】解 ： 26.5 ∘ = 26 ∘ + 0.5 × 60 ′ = 26 ∘ 30 ′ 26.5^{\circ}=26^{\circ}+0.5 \times 60^{\prime}=26^{\circ} 30^{\prime} 26. 5 ∘ = 2 6 ∘ + 0.5 × 6 0 ′ = 2 6 ∘ 3 0 ′ 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
余角·补角·角的和差
计算 3 a 2 ⋅ ( 5 a ) 3 a^{2} \cdot(5 a) 3 a 2 ⋅ ( 5 a ) A 8 a 2 8 a^{2} 8 a 2 B 8 a 3 8 a^{3} 8 a 3 C 15 a 2 15 a^{2} 15 a 2 D 15 a 3 15 a^{3} 15 a 3 ▶ 查看答案和解析 答案: D
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可。
【详解】解： 3 a 2 ⋅ ( 5 a ) = ( 3 × 5 ) ⋅ ( a 2 ⋅ a ) = 15 a 3 3 a^{2} \cdot(5 a)=(3 \times 5) \cdot\left(a^{2} \cdot a\right)=15 a^{3} 3 a 2 ⋅ ( 5 a ) = ( 3 × 5 ) ⋅ ( a 2 ⋅ a ) = 15 a 3 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
代数式与整式运算
科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶。若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是 A 1 3 \frac{1}{3} 3 1 B 1 2 \frac{1}{2} 2 1 C 2 3 \frac{2}{3} 3 2 D 3 4 \frac{3}{4} 4 3 ▶ 查看答案和解析 答案: A
【解析】
【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比。
【详解】解：∵从 3 瓶溶液中随机选取1瓶，共有3种等可能的结果，其中选到弱酸性溶液的结果有1种，∴ 选到弱酸性溶液的概率为 1 3 \frac{1}{3} 3 1 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
几何概率/古典概型
2026 年＂吴越杯＂浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分．某队在 10 场比赛中负了 2 场，共积 20 分，求该队的胜场数。设该队胜了 x x x x x x A 3 x + ( 10 − 2 ) × 1 = 20 3 x+(10-2) \times 1=20 3 x + ( 10 − 2 ) × 1 = 20 B 3 x + ( 10 − 2 − x ) × 1 = 20 3 x+(10-2-x) \times 1=20 3 x + ( 10 − 2 − x ) × 1 = 20 C 3 x + 10 × 1 = 20 3 x+10 \times 1=20 3 x + 10 × 1 = 20 D 3 x + ( 10 − x ) × 1 = 20 3 x+(10-x) \times 1=20 3 x + ( 10 − x ) × 1 = 20 ▶ 查看答案和解析 答案: B
【解析】
【分析】总比赛 10 场，负 2 场，胜 x x x 10 − 2 − x 10-2-x 10 − 2 − x 3 x 3 x 3 x ( 10 − 2 − x ) × 1 (10-2-x) \times 1 ( 10 − 2 − x ) × 1 x x x 【详解】解：总比赛 10 场，负 2 场，胜 x x x ( 10 − 2 − x ) (10-2-x) ( 10 − 2 − x ) 3 x 3x 3 x ( 10 − 2 − x ) × 1 (10-2-x) \times 1 ( 10 − 2 − x ) × 1 ∴ 3 x + ( 10 − 2 − x ) × 1 = 20
\therefore 3 x+(10-2-x) \times 1=20
∴ 3 x + ( 10 − 2 − x ) × 1 = 20 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
数学建模/参数法(设而不求)
下列命题为假命题的是 A 四边形内角和等于 360 ∘ 360^{\circ} 36 0 ∘ B 平行四边形对角线互相平分 C 有一组邻边相等的矩形是正方形 D 四个角相等的四边形是菱形 ▶ 查看答案和解析 答案: D
【解析】 【详解】选项 A，任意四边形的内角和均为360°，该命题为真命题，不符合题意； 选项 B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意；选项 C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命题，不符合题意； 选项 D，四边形内角和为360°，若四个角相等，则每个角的度数为360°4＝90°，四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。
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命题真假与反例 四边形内角和 正方形的性质与判定 菱形的判定与性质
关于 x 的一元二次方程 x 2 + b x − 1 = 0 x^{2}+b x-1=0 x 2 + b x − 1 = 0 A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定 ▶ 查看答案和解析 答案: A
【解析】
【详解】解 ：∵ 二元二次方程 x 2 + b x − 1 = 0 x^{2}+b x-1=0 x 2 + b x − 1 = 0 a = 1 , c = − 1 a=1, c=-1 a = 1 , c = − 1 ∴ Δ = b 2 − 4 a c = b 2 − 4 × 1 × ( − 1 ) = b 2 + 4 , ∵ b 2 ≥ 0 , ∴ b 2 + 4 > 0 ,
\begin{aligned}
& \therefore \Delta=b^{2}-4 a c=b^{2}-4 \times 1 \times(-1)=b^{2}+4, \\
& \because b^{2} \geq 0, \\
& \therefore b^{2}+4>0,
\end{aligned}
∴ Δ = b 2 − 4 a c = b 2 − 4 × 1 × ( − 1 ) = b 2 + 4 , ∵ b 2 ≥ 0 , ∴ b 2 + 4 > 0 , ∴方程有两个不相等的实数根。 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
一元二次方程 根的判别式与根与系数关系
我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形。如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为 图1 图2 A 4 3 π − 3 \frac{4}{3} \pi-\sqrt{3} 3 4 π − 3 B 4 3 π − 3 2 \frac{4}{3} \pi-\frac{\sqrt{3}}{2} 3 4 π − 2 3 C 2 3 π − 3 \frac{2}{3} \pi-\sqrt{3} 3 2 π − 3 D 2 3 π − 3 2 \frac{2}{3} \pi-\frac{\sqrt{3}}{2} 3 2 π − 2 3 ▶ 查看答案和解析 答案: C
【解析】
【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算。
【详解】解：设圆的圆心为 O O O A B A B A B O A , O B O A, O B O A , O B ∵ 多边形为正六边形，
∴ 圆心角 ∠ A O B = 360 ∘ 6 = 60 ∘ \angle A O B=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ} ∠ A O B = 6 36 0 ∘ = 6 0 ∘ ∴ 圆的半径 R = O A = O B = A B = 2 \therefore \text{圆的半径} R=O A=O B=A B=2 ∴ 圆的半径 R = O A = O B = A B = 2 ∴ △ O A B \therefore \triangle O A B ∴ △ O A B ∴ S 扇形 O A B = 60 ⋅ π ⋅ 2 2 360 = 2 3 π \therefore S \text{扇形} O A B =\frac{60 \cdot \pi \cdot 2^{2}}{360}=\frac{2}{3} \pi ∴ S 扇形 O A B = 360 60 ⋅ π ⋅ 2 2 = 3 2 π O O O O C ⊥ A B O C \perp A B O C ⊥ A B C C C A C = 1 2 A B = 1 A C=\frac{1}{2} A B=1 A C = 2 1 A B = 1 △ O A C \triangle O A C △ O A C O C = O A 2 − A C 2 = 2 2 − 1 2 = 3 O C=\sqrt{O A^{2}-A C^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3} O C = O A 2 − A C 2 = 2 2 − 1 2 = 3 ∴ S △ O A B = 1 2 A B ⋅ O C = 1 2 × 2 × 3 = 3 \therefore S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} A B \cdot O C=\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3}=\sqrt{3} ∴ S △ O A B = 2 1 A B ⋅ O C = 2 1 × 2 × 3 = 3 S = S 扇形 O A B − S △ O A B = 2 3 π − 3 S=S \text{扇形} O A B -S_{\triangle O A B}=\frac{2}{3} \pi-\sqrt{3} S = S 扇形 O A B − S △ O A B = 3 2 π − 3 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
正多边形与圆 弧长与扇形面积 等边三角形的性质与判定
已知 △ A B C \triangle A B C △ A B C A ( − 3 , 4 ) , B ( 2 , − 1 ) , C ( − 2 , − 2 ) A(-3,4), B(2,-1), C(-2,-2) A ( − 3 , 4 ) , B ( 2 , − 1 ) , C ( − 2 , − 2 ) △ A B C \triangle A B C △ A B C A A A A ′ A^{\prime} A ′ C C C O O O B B B B ′ B^{\prime} B ′ A （7，－3） B （5，－2） C ( 3 , − 4 ) (3,-4) ( 3 , − 4 ) D ( 2 , 2 ) (2,2) ( 2 , 2 ) ▶ 查看答案和解析 答案: A
【解析】 【分析】先根据中心对称性质求出 A ′ A^{\prime} A ′ 【详解】解：∵ 点 A A A A ′ A^{\prime} A ′ C ( − 2 , − 2 ) C(-2,-2) C ( − 2 , − 2 ) O O O A ′ A^{\prime} A ′ ( 2 , 2 ) (2,2) ( 2 , 2 ) A ( − 3 , 4 ) A(-3,4) A ( − 3 , 4 ) A ′ ( 2 , 2 ) A^{\prime}(2,2) A ′ ( 2 , 2 ) B ( 2 , − 1 ) B(2,-1) B ( 2 , − 1 ) B ′ B^{\prime} B ′ ( 2 + 5 , − 1 − 2 ) (2+5,-1-2) ( 2 + 5 , − 1 − 2 ) ( 7 , − 3 ) (7,-3) ( 7 , − 3 ) 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
平移变换 中心对称 平面直角坐标系(点的坐标)
【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度 ρ \rho ρ ρ V 总 = ρ 1 V 1 + ρ 2 V 2 \rho V \text{总} =\rho_{1} V_{1}+\rho_{2} V_{2} ρ V 总 = ρ 1 V 1 + ρ 2 V 2 ρ 1 , ρ 2 \rho_{1}, \rho_{2} ρ 1 , ρ 2 V 1 , V 2 V_{1}, V_{2} V 1 , V 2 V 总 = V 1 + V 2 ) \left.V \text{总} =V_{1}+V_{2}\right) V 总 = V 1 + V 2 ) 【问题解决】图1中的液体由500 c m 3 \mathrm{cm}^{3} cm 3 300 c m 3 300 \mathrm{~cm}^{3} 300 cm 3 水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为 2.6 cm 。已知水的密度为 1 g / c m 3 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} 1 g / cm 3 A 1.2 g / c m 3 1.2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} 1.2 g / cm 3 B 1.5 g / c m 3 1.5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} 1.5 g / cm 3 C 1.8 g / c m 3 1.8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} 1.8 g / cm 3 D 2.1 g / c m 3 2.1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} 2.1 g / cm 3 ▶ 查看答案和解析 答案: C
【解析】
【分析】设正方体木块底面积为 S S S ρ \rho ρ ρ = 1.3 g / c m 3 \rho=1.3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ρ = 1.3 g / cm 3 【详解】解：设正方体木块底面积为 S S S ρ \rho ρ ∴ ρ ⋅ 2 S = 1 × 2.6 S \therefore \rho \cdot 2 S=1 \times 2.6 S ∴ ρ ⋅ 2 S = 1 × 2.6 S ρ = 1.3 g / c m 3 \rho=1.3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ρ = 1.3 g / cm 3 ρ V 总 = ρ 1 V 1 + ρ 2 V 2 \rho V \text{总} =\rho_{1} V_{1}+\rho_{2} V_{2} ρ V 总 = ρ 1 V 1 + ρ 2 V 2 1.3 × ( 500 + 300 ) = 1 × 500 + ρ 甲 × 300 1.3 \times(500+300)=1 \times 500+\rho \text{甲} \times 300 1.3 × ( 500 + 300 ) = 1 × 500 + ρ 甲 × 300 1040 = 500 + 300 ρ 甲 1040=500+300 \rho \text{甲} 1040 = 500 + 300 ρ 甲 ρ 甲 = 1.8 g / c m 3 \rho \text{甲} =1.8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ρ 甲 = 1.8 g / cm 3 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
跨学科应用(物理:杠杆·电路·运动) 反比例函数(图象与性质) 新定义/阅读理解题
一元一次不等式 3 x − 2 > 1 3 x-2>1 3 x − 2 > 1 _ _ _ _ \_\_\_\_ ____ ▶ 查看答案和解析 【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，对原不等式逐步化简即可得到解集。 【详解】解 ： 3 x − 2 > 1 3 x-2>1 3 x − 2 > 1 3 x > 1 + 2
3 x>1+2
3 x > 1 + 2 3 x > 3 3 x>3 3 x > 3 解得 x > 1 x>1 x > 1 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
一元一次不等式(组)
分式方程 2 x − 1 = 3 x \frac{2}{x-1}=\frac{3}{x} x − 1 2 = x 3 _ _ _ _ \_\_\_\_ ____ ▶ 查看答案和解析 【解析】
【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可得到原方程的解。
【详解】解 ：方程两边同乘最简公分母 x ( x − 1 ) x(x-1) x ( x − 1 ) 2 x = 3 ( x − 1 ) 2 x=3(x-1) 2 x = 3 ( x − 1 ) 去括号，得 2 x = 3 x − 3 2 x=3 x-3 2 x = 3 x − 3 2 x − 3 x = − 3 2 x-3 x=-3 2 x − 3 x = − 3 合并同类项，得 -x=-3 ， 系数化为 1 ，得 x = 3 x=3 x = 3 x = 3 x=3 x = 3 x ( x − 1 ) = 3 × ( 3 − 1 ) = 6 ≠ 0 x(x-1)=3 \times(3-1)=6 \neq 0 x ( x − 1 ) = 3 × ( 3 − 1 ) = 6 = 0 \thereforex = 3 \thereforex=3 \thereforex = 3 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
解方程(配方·因式分解·公式法) 分式化简与二次根式
如图，一辆高 A B A B A B B C B C B C _ _ _ _ \_\_\_\_ ____ sin 15 ∘ ≈ 0.26 , cos 15 ∘ ≈ 0.97 , tan 15 ∘ ≈ 0.27 \sin 15^{\circ} \approx 0.26, \cos 15^{\circ} \approx 0.97, ~ \tan 15^{\circ} \approx 0.27 sin 1 5 ∘ ≈ 0.26 , cos 1 5 ∘ ≈ 0.97 , tan 1 5 ∘ ≈ 0.27 ▶ 查看答案和解析 答案: 2 米
【解析】
【分析】利用正切函数定义即可解答。 【详解】解：由题意可知，△ A B C \triangle A B C △ A B C ∠ A B C = 90 ∘ , ∠ C = 15 ∘ , A B = 0.54 \angle A B C=90^{\circ}, \angle C=15^{\circ}, A B=0.54 ∠ A B C = 9 0 ∘ , ∠ C = 1 5 ∘ , A B = 0.54 △ A B C \triangle A B C △ A B C tan C = A B B C \tan C=\frac{A B}{B C} tan C = B C A B ∴ B C = A B tan C = 0.54 tan 15 ∘ ≈ 0.54 0.27 = 2 \therefore B C=\frac{A B}{\tan C}=\frac{0.54}{\tan 15^{\circ}} \approx \frac{0.54}{0.27}=2 ∴ B C = t a n C A B = t a n 1 5 ∘ 0.54 ≈ 0.27 0.54 = 2 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
锐角三角函数(sin·cos·tan) 解直角三角形 三角函数实际应用(仰角俯角·测高)
锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对 A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9
若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为 40 % 、 30 % 、 30 % 40 \% \text{、} 30 \% \text{、} 30 \% 40% 、 30% 、 30% _ _ _ _ \_\_\_\_ ____ ▶ 查看答案和解析 答案: B
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求出三个套餐的加权得分，比较大小即可得到结果。
【详解】解 ：分别计算三个套餐的加权平均数 ：
套餐 A 的得分： 8 × 40 % + 9 × 30 % + 8 × 30 % = 3.2 + 2.7 + 2.4 = 8.3 8 \times 40 \%+9 \times 30 \%+8 \times 30 \%=3.2+2.7+2.4=8.3 8 × 40% + 9 × 30% + 8 × 30% = 3.2 + 2.7 + 2.4 = 8.3 9 × 40 % + 8 × 30 % + 8 × 30 % = 3.6 + 2.4 + 2.4 = 8.4 9 \times 40 \%+8 \times 30 \%+8 \times 30 \%=3.6+2.4+2.4=8.4 9 × 40% + 8 × 30% + 8 × 30% = 3.6 + 2.4 + 2.4 = 8.4 7 × 40 % + 9 × 30 % + 9 × 30 % = 2.8 + 2.7 + 2.7 = 8.2 7 \times 40 \%+9 \times 30 \%+9 \times 30 \%=2.8+2.7+2.7=8.2 7 × 40% + 9 × 30% + 9 × 30% = 2.8 + 2.7 + 2.7 = 8.2 ∵ 8.4 > 8.3 > 8.2 \because 8.4>8.3>8.2 ∵ 8.4 > 8.3 > 8.2 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
平均数·加权平均数
老师布置了一个任务：对于非零实数 a , b a, b a , b a 2 − a = b 2 + b a^{2}-a=b^{2}+b a 2 − a = b 2 + b a − b a-b a − b a − b = 1 a-b=1 a − b = 1 a , b a, b a , b a − b ≠ 1 a-b \neq 1 a − b = 1 _ _ _ _ \_\_\_\_ ____ ▶ 查看答案和解析 答案: a = 1 , b = − 1 a=1, b=-1 a = 1 , b = − 1 【解析】
【分析】将原等式整理因式分解后可得 ( a + b ) ( a − b − 1 ) = 0 (a+b)(a-b-1)=0 ( a + b ) ( a − b − 1 ) = 0 a + b = 0 a+b=0 a + b = 0 a , b a, b a , b a − b ≠ 1 a-b \neq 1 a − b = 1 【详解】解 ：a 2 − a = b 2 + b a^{2}-a=b^{2}+b a 2 − a = b 2 + b a 2 − a − b 2 − b = 0 ( a 2 − b 2 ) − ( a + b ) = 0 ( a − b ) ( a + b ) − ( a + b ) = 0 ( a + b ) ( a − b − 1 ) = 0
\begin{aligned}
& a^{2}-a-b^{2}-b=0 \\
& \left(a^{2}-b^{2}\right)-(a+b)=0 \\
& (a-b)(a+b)-(a+b)=0 \\
& (a+b)(a-b-1)=0
\end{aligned}
a 2 − a − b 2 − b = 0 ( a 2 − b 2 ) − ( a + b ) = 0 ( a − b ) ( a + b ) − ( a + b ) = 0 ( a + b ) ( a − b − 1 ) = 0 ∵ 要求原等式成立且 a − b ≠ 1 , a , b a-b \neq 1, ~ a, b a − b = 1 , a , b a + b = 0 a+b=0 a + b = 0 a ≠ 0 , b ≠ 0 a \neq 0 \quad, b \neq 0 a = 0 , b = 0 a = 1 a=1 a = 1 b = − 1 b=-1 b = − 1 a 2 − a = 1 2 − 1 = 0 a^{2}-a=1^{2}-1=0 a 2 − a = 1 2 − 1 = 0 b 2 + b = ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) = 0 b^{2}+b=(-1)^{2}+(-1)=0 b 2 + b = ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) = 0 a − b = 2 ≠ 1 a-b=2 \neq 1 a − b = 2 = 1 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
解方程(配方·因式分解·公式法) 代数式与整式运算 分类讨论
如图，∠ B A C = ∠ A B C = 30 ∘ , A B = 4 6 , D 、 E \angle B A C=\angle A B C=30^{\circ}, A B=4 \sqrt{6}, D \text{、} E ∠ B A C = ∠ A B C = 3 0 ∘ , A B = 4 6 , D 、 E A B 、 A C A B \text{、} A C A B 、 A C P 、 Q P \text{、} Q P 、 Q B C B C B C D E D E D E B D B D B D Q P Q P QP B ′ D ′ B^{\prime} D^{\prime} B ′ D ′ B C B C B C Q P = Q P= QP = _ _ _ _ \_\_\_\_ ____ ▶ 查看答案和解析 【解析】 【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到 D E D E D E A C 、 B C A C \text{、} B C A C 、 B C Q P Q P QP 【详解】解：如图，延长 B ′ D ′ B^{\prime} D^{\prime} B ′ D ′ D E 于点 N D E \text{于点} N D E 于点 N A D A D A D Q S , C D Q S, ~ C D QS , C D B D 和 B ′ D ′ B D \text{和} B^{\prime} D^{\prime} B D 和 B ′ D ′ Q P 对称可得， P 、 Q 、 S 三点共线． Q P \text{对称可得，} P \text{、} Q \text{、} \mathrm{~S} \text{三点共线．} QP 对称可得， P 、 Q 、 S 三点共线． ∵ ∠ B A C = ∠ A B C = 30 ∘ , ∴ ∠ A C B = 180 ∘ − ∠ B A C − ∠ A B C = 120 ∘ , △ A B C 为等腰三角形,
\begin{aligned}
& \because \angle B A C=\angle A B C=30^{\circ}, \\
& \therefore \angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C-\angle A B C=120^{\circ}, \triangle A B C \text { 为等腰三角形, }
\end{aligned}
∵ ∠ B A C = ∠ A B C = 3 0 ∘ , ∴ ∠ A C B = 18 0 ∘ − ∠ B A C − ∠ A B C = 12 0 ∘ , △ A B C 为等腰三角形 , ∵ D \because D ∵ D A B A B A B A B = 4 6 A B=4 \sqrt{6} A B = 4 6 ∴ A D = B D = 2 6 , C D ⊥ A B ,
\therefore A D=B D=2 \sqrt{6}, C D \perp A B \text {, }
∴ A D = B D = 2 6 , C D ⊥ A B , ∴ 在 Rt △ A D C \triangle A D C △ A D C A C = A D cos 30 ∘ = 4 2 = B C A C=\frac{A D}{\cos 30^{\circ}}=4 \sqrt{2}=B C A C = c o s 3 0 ∘ A D = 4 2 = B C ∵ D 、 E 分别是 A B 、 A C \because D \text{、} E \text{分别是} A B \text{、} A C ∵ D 、 E 分别是 A B 、 A C ∴ D E 为 Δ A B C 的中位线， \therefore D E \text{为} \Delta A B C \text{的中位线，} ∴ D E 为 Δ A B C 的中位线， ∴ D E / / B C , D E = 1 2 B C = 2 2 = A E = C E , ∴ ∠ A E D = ∠ A C B = 120 ∘ , ∵ 线段 B ′ D ′ 垂直 B C , ∴ ∠ B S B ′ = 90 ∘ − 30 ∘ = 60 ∘ ,
\begin{aligned}
& \therefore D E / / B C, \quad D E=\frac{1}{2} B C=2 \sqrt{2}=A E=C E, \\
& \therefore \angle A E D=\angle A C B=120^{\circ}, \\
& \because \text { 线段 } B^{\prime} D^{\prime} \text { 垂直 } B C, \\
& \therefore \angle B S B^{\prime}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ},
\end{aligned}
∴ D E // B C , D E = 2 1 B C = 2 2 = A E = C E , ∴ ∠ A E D = ∠ A C B = 12 0 ∘ , ∵ 线段 B ′ D ′ 垂直 B C , ∴ ∠ B S B ′ = 9 0 ∘ − 3 0 ∘ = 6 0 ∘ , 根据轴对称可得 ∠ B S P = ∠ B ′ S P = 1 2 ∠ B S B ′ = 30 ∘ = ∠ B A C \angle B S P=\angle B^{\prime} S P=\frac{1}{2} \angle B S B^{\prime}=30^{\circ}=\angle B A C ∠ B S P = ∠ B ′ S P = 2 1 ∠ B S B ′ = 3 0 ∘ = ∠ B A C ∴ P S ∥ A C , 又 D E / / B C ,
\begin{aligned}
& \therefore P S \| A C, \\
& \text { 又 } D E / / B C, ~
\end{aligned}
∴ P S ∥ A C , 又 D E // B C , ∴ 四边形 P C E Q 是平行四边形， P C E Q \text{是平行四边形，} P C E Q 是平行四边形， ∴ Q P = E C = 2 2
\therefore Q P=E C=2 \sqrt{2}
∴ QP = E C = 2 2 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
三角形中位线定理 轴对称(翻折) 等腰三角形的性质与判定
计算 ：∣ − 2 ∣ − 9 + ( − 1 ) 3 |-2|-\sqrt{9}+(-1)^{3} ∣ − 2∣ − 9 + ( − 1 ) 3 ▶ 查看答案和解析 答案: －2
【解析】
【详解】解 ：∣ − 2 ∣ − 9 + ( − 1 ) 3 |-2|-\sqrt{9}+(-1)^{3} ∣ − 2∣ − 9 + ( − 1 ) 3 = 2 − 3 + ( − 1 ) = − 1 − 1
\begin{aligned}
& =2-3+(-1) \\
& =-1-1
\end{aligned}
= 2 − 3 + ( − 1 ) = − 1 − 1 = − 2 =-2 = − 2 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
绝对值 分式化简与二次根式
解方程组 ：{ x + 2 y = 6 2 x + y = 9 \left\{\begin{array}{l}x+2 y=6 \\ 2 x+y=9\end{array}\right. { x + 2 y = 6 2 x + y = 9 ▶ 查看答案和解析 答案: { x = 4 y = 1 \left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=1\end{array}\right. { x = 4 y = 1 【解析】
【分析】利用加减消元法求解即可 ．
【详解】解 ：{ x + 2 y = 6 ( 1 ) 2 x + y = 9 ( 2 ) \left\{\begin{array}{l}x+2 y=6(1) \\ 2 x+y=9(2)\end{array}\right. { x + 2 y = 6 ( 1 ) 2 x + y = 9 ( 2 ) × 2 \times 2 × 2 2 x + 4 y = 12 2 x+4 y=12 2 x + 4 y = 12 3 y = 3 3 y=3 3 y = 3 解得，y = 1 y=1 y = 1 把 y = 1 y=1 y = 1 2 x + 1 = 9 2 x+1=9 2 x + 1 = 9 解得，x = 4 x=4 x = 4 因此原方程组的解为 { x = 4 y = 1 \left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=1\end{array}\right. { x = 4 y = 1 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
解方程(配方·因式分解·公式法)
如图所示，是墙面 l l l A B A B A B P Q P Q P Q M N M N M N 墙面与显示屏，测得 P M = Q N P M=Q N P M = QN （1）证明：P M / / Q N P M / / Q N P M // QN P Q = 10 c m , A B = 57 c m , P Q ⊥ l P Q=10 \mathrm{~cm}, A B=57 \mathrm{~cm}, P Q \perp l P Q = 10 cm , A B = 57 cm , P Q ⊥ l O O O l 的距离 O D = 200 c m l \text{的距离} O D=200 \mathrm{~cm} l 的距离 O D = 200 cm C D C D C D C D C D C D ▶ 查看答案和解析 答案: （1）证明：连接 P N P N P N 在 △ P Q N \triangle P Q N △ P QN △ N M P \triangle N M P △ N M P ∵ P Q = M N , Q N = P M , P N = N P , ∴ △ P Q N ≅ △ N M P ( S S S ) , ∴ ∠ Q P N = ∠ M N P ,
\begin{aligned}
& \because P Q=M N, Q N=P M, P N=N P, \\
& \therefore \triangle P Q N \cong \triangle N M P(S S S), \\
& \therefore \angle Q P N=\angle M N P,
\end{aligned}
∵ P Q = M N , QN = P M , P N = N P , ∴ △ P QN ≅ △ N M P ( S S S ) , ∴ ∠ QP N = ∠ M N P , ∴ P M / / Q N \therefore P M / / Q N ∴ P M // QN 【解析】 【分析】（1）利用已知条件 P Q = M N , Q N = P M P Q=M N, Q N=P M P Q = M N , QN = P M C D C D C D 【小问 1详解】
略
【小问 2详解】 解：由题意，墙面 l ⟂ 地面，A B ⊥ O D , P Q ⊥ l , D B ⊥ l A B \perp O D, P Q \perp l, D B \perp l A B ⊥ O D , P Q ⊥ l , D B ⊥ l ∴ P Q / / D B , A B ∥ C D , ∴ ∠ P Q B = ∠ D B Q = ∠ Q P D = 90 ∘ ,
\begin{aligned}
& \therefore P Q / / D B, A B \| C D, \\
& \therefore \angle P Q B=\angle D B Q=\angle Q P D=90^{\circ},
\end{aligned}
∴ P Q // D B , A B ∥ C D , ∴ ∠ P QB = ∠ D B Q = ∠ QP D = 9 0 ∘ , ∴ 四边形 P Q B D 是矩形， \therefore \text{四边形} P Q B D \text{是矩形，} ∴ 四边形 P QB D 是矩形， ∴ P Q = B D = 10 , 又 ∵ A O B = ∠ C O D , ∠ C D O = ∠ A B O = 90 ∘ , ∴ △ O A B ∼ △ O C D , ∴ A B C D = O B O D , ∵ A B = 57 , O B = O D − B D = 190 , ∴ C D = 57 × 200 190 = 60 , ∴ C D 的长度为 60 c m .
\begin{aligned}
& \therefore P Q=B D=10, \\
& \text { 又 } \because A O B=\angle C O D, \angle C D O=\angle A B O=90^{\circ}, \\
& \therefore \triangle O A B \sim \triangle O C D, \\
& \therefore \frac{A B}{C D}=\frac{O B}{O D}, \\
& \because A B=57, O B=O D-B D=190, \\
& \therefore C D=57 \times \frac{200}{190}=60, \\
& \therefore C D \text { 的长度为 } 60 \mathrm{~cm} .
\end{aligned}
∴ P Q = B D = 10 , 又 ∵ A O B = ∠ C O D , ∠ C D O = ∠ A B O = 9 0 ∘ , ∴ △ O A B ∼ △ O C D , ∴ C D A B = O D O B , ∵ A B = 57 , O B = O D − B D = 190 , ∴ C D = 57 × 190 200 = 60 , ∴ C D 的长度为 60 cm . 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 平行线的性质与判定
现在是信息时代，人们对云存储空间的需求日益增加。某云存储间实行阶梯收费，若云存储数据量在10 TB 及以下，则每月收费单价为 m m m n n n y y y x ( T B ) x(\mathrm{~TB}) x ( TB ) （1） 求 m m m n n n （2）若锦凌公司当月支付云存储费用2400元，求该公司当月云存储数据量为多少。 ▶ 查看答案和解析 答案: （1）m = 100 ; n = 70 m=100 ; n=70 m = 100 ; n = 70 【解析】
【分析】（1）结合图像给出的两组对应数值分别建立关于 m 、 n m \text{、} n m 、 n m m m n n n 【小问 1详解】
解：由函数图象可知，当 x = 10 x=10 x = 10 y = 1000 y=1000 y = 1000 ∴ 10 m = 1000 \therefore 10 m=1000 ∴ 10 m = 1000 m = 100 m=100 m = 100 由函数图象可知，当 x = 50 x=50 x = 50 y = 3800 y=3800 y = 3800 ∴ 1000 + ( 50 − 10 ) n = 3800 \therefore 1000+(50-10) n=3800 ∴ 1000 + ( 50 − 10 ) n = 3800 n = 70 n=70 n = 70 【小问 2详解】
解： 2400 > 1000 2400>1000 2400 > 1000 设数据量为 x T B x \mathrm{~TB} x TB 1000 + 70 ( x − 10 ) = 2400 1000+70(x-10)=2400 1000 + 70 ( x − 10 ) = 2400 解得 x = 30 x=30 x = 30 答：该公司当月云存储数据量为 30 T B ． 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
分段函数 一次函数(图象与性质) 函数的实际应用(行程·利润·注水等)
【问题背景】 锦凌和同学们想利用图1中圆心角为90°的扇形 A O B A O B A O B 形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径。 图1 图2 【尺规作图】 如图 2 是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含 45 ∘ 45^{\circ} 4 5 ∘ ∠ A O B \angle A O B ∠ A O B A B A B A B C C C C C C O C O C O C O A , O B O A, O B O A , O B D , E D, E D , E D E D E D E △ D O E \triangle D O E △ D O E ∠ O D E = 45 ∘ \angle O D E=45^{\circ} ∠ O D E = 4 5 ∘ 【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形 A O B A O B A O B 作图方法1： 图3 以点 B B B O B O B O B A B A B A B F … F \ldots F … 作图方法2： 图4 作 O B O B O B A B A B A B G G G （2）任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤。（保留作图痕迹，不要求写出作图方法） ▶ 查看答案和解析 答案: （1）证明：∵ ∠ A O B = 90 ∘ , O C \because \angle A O B=90^{\circ}, O C ∵ ∠ A O B = 9 0 ∘ , O C ∠ A O B \angle A O B ∠ A O B ∴ ∠ D O C = ∠ E O C = 1 2 ∠ A O B = 45 ∘ ,
\therefore \angle D O C=\angle E O C=\frac{1}{2} \angle A O B=45^{\circ} \text {, }
∴ ∠ D O C = ∠ E O C = 2 1 ∠ A O B = 4 5 ∘ , 又 ∵ D E ⊥ O C \because D E \perp O C ∵ D E ⊥ O C ∴ ∠ O C D = 90 ∘ ,
\therefore \angle O C D=90^{\circ},
∴ ∠ O C D = 9 0 ∘ , 在 R t △ D O C \mathrm{Rt} \triangle D O C Rt △ D O C 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ ∴ ∠ O D E = 180 ∘ − ∠ O C D − ∠ D O C = 180 ∘ − 90 ∘ − 45 ∘ = 45 ∘ .
\therefore \angle O D E=180^{\circ}-\angle O C D-\angle D O C=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ} \text {. }
∴ ∠ O D E = 18 0 ∘ − ∠ O C D − ∠ D O C = 18 0 ∘ − 9 0 ∘ − 4 5 ∘ = 4 5 ∘ . （2）选作图方法1： 图3 图4 【解析】
【分析】（1）根据 ∠ A O B = 90 ∘ , O C 是 ∠ A O B \angle A O B=90^{\circ}, O C \text{是} \angle A O B ∠ A O B = 9 0 ∘ , O C 是 ∠ A O B ∠ D O C = 45 ∘ \angle D O C=45^{\circ} ∠ D O C = 4 5 ∘ D E ⊥ O C D E \perp O C D E ⊥ O C ∠ O C D = 90 ∘ \angle O C D=90^{\circ} ∠ O C D = 9 0 ∘ R t △ D O C \mathrm{Rt} \triangle D O C Rt △ D O C 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ O F , B F O F, B F O F , B F O B = B F = O F O B=B F=O F O B = B F = O F 图3 ∴ △ O B F \therefore\triangle O B F ∴ △ O B F ∴ ∠ F O B = 60 ∘ ,
\therefore \angle F O B=60^{\circ} \text {, }
∴ ∠ F O B = 6 0 ∘ , 过点 F 作 O F O F O F O A O A O A O B O B O B M 、 N M \text{、} N M 、 N M N M N M N △ M O N \triangle M O N △ M O N 60 ∘ 60^{\circ} 6 0 ∘ O F O F O F M N M N M N ∠ O N M = 90 ∘ − 60 ∘ = 30 ∘ , ∠ O M N = 90 ∘ − 30 ∘ = 60 ∘ , 符合要求;
\angle O N M=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}, \angle O M N=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ} \text {, 符合要求; }
∠ O N M = 9 0 ∘ − 6 0 ∘ = 3 0 ∘ , ∠ O M N = 9 0 ∘ − 3 0 ∘ = 6 0 ∘ , 符合要求 ; 选作图方法2：
连接 O G , B G O G, B G O G , B G 根据垂直平分线的性质可得 B G = O G B G=O G B G = O G 图4 又 O G = O B , ∴ O B = B G = O G , , ∴
\begin{aligned}
& \text { 又 }^{O G}=O B, \\
& \therefore O B=B G=O G, \text {, } \\
& \therefore
\end{aligned}
又 O G = O B , ∴ O B = B G = O G , , ∴ ∴ △ O B G \therefore\triangle O B G ∴ △ O B G ∴ ∠ G O B = 60 ∘ ;
\therefore \angle G O B=60^{\circ} \text {; }
∴ ∠ GO B = 6 0 ∘ ; 过点 G 作 O G 的垂线，分别交射线 O A G \text{作} O G \text{的垂线，分别交射线} O A G 作 O G 的垂线，分别交射线 O A O B O B O B P 、 Q P \text{、} Q P 、 Q P Q P Q P Q △ O P Q 就是所求的含 60 ∘ \triangle O P Q \text{就是所求的含} 60^{\circ} △ O P Q 就是所求的含 6 0 ∘ O G 是斜边 P Q 上的高，且 ∠ O Q P = 30 ∘ O G \text{是斜边} P Q \text{上的高，且} \angle O Q P=30^{\circ} O G 是斜边 P Q 上的高，且 ∠ O QP = 3 0 ∘ ∠ O P Q = 60 ∘ \angle O P Q=60^{\circ} ∠ O P Q = 6 0 ∘ 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
尺规作图 等腰直角三角形 角平分线 含30°角的直角三角形
为了调查共同富裕示范区情况，某数学实践小组对甲、乙两个社区进行了调查，采用了抽样调查的方法甲、乙两个社区均随机抽取10户家庭，收集2025年居民人均可支配收入，并对数据进行整理，制成如下统计表： 社区 平 均 数（万元） 中 位 数（万元） 众数（万元） 方差（万元 2 ） 甲 7 6.95 6.2 0.568 乙 7 6.5 5.9 1.48
由于统计过程中的操作失误，使最终的数据遗失了2个，分别记为 a a a b b b a ≤ b a \leq b a ≤ b 不完整的数据如下：（单位：万元） 甲：6．5、5．9、7．7、6．9、7．0、8．2、6．2、7．6、7．8、6．2 乙：5．9、5．6、6．2、6．6、7．6、a、b、9．1、7．7、9．0 请根据以上信息，解答下列问题：
（1）若甲社区有 100 户家庭，请估计甲社区有多少户家庭2025年居民人均可支配收入超过 7.5 万元；
（2）求 a a a b b b ▶ 查看答案和解析 答案: （1）40（2）a = 5.9 , b = 6.4 a=5.9, b=6.4 a = 5.9 , b = 6.4 因此甲社区共同富裕的成效更显著。 【解析】 【分析】（1）根据题意可得随机抽取 10 户家庭中有 4 户家庭 2025 年居民人均可支配收入超过 7.5 万元，再根据样本估计总体解答即可； （2） 根据平均数和众数的意义解答即可；
（3） 根据平均数，中位数，众数，方差的意义解答即可。 【小问 1详解】
解： 100 × 4 10 = 40 100 \times \frac{4}{10}=40 100 × 10 4 = 40 即甲社区有40户家庭2025年居民人均可支配收入超过 7.5 万元； 【小问 2详解】
解：∵乙社区的居民人均可支配收入的平均数为7万元， ∴ 5.9 + 5.6 + 6.2 + 6.6 + 7.6 + a + b + 9.1 + 7.7 + 9.0 = 7 × 10 ,
\therefore 5.9+5.6+6.2+6.6+7.6+a+b+9.1+7.7+9.0=7 \times 10,
∴ 5.9 + 5.6 + 6.2 + 6.6 + 7.6 + a + b + 9.1 + 7.7 + 9.0 = 7 × 10 , 即 a + b = 12.3 a+b=12.3 a + b = 12.3 ∴ a 、 b \therefore a \text{、} b ∴ a 、 b ∵ a ≤ b , ∴ a = 5.9 , b = 6.4 ,
\begin{aligned}
& \because a \leq b, \\
& \therefore a=5.9, b=6.4,
\end{aligned}
∵ a ≤ b , ∴ a = 5.9 , b = 6.4 , 【小问 3 详解】
略 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
抽样调查·样本估计总体 平均数·加权平均数 中位数·众数 方差·标准差(数据的波动)
我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一。某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度 x x x 50 60 70 80 90 基础能耗 y y y k W ⋅ h / 100 k m \mathrm{kW} \cdot \mathrm{h} / 100 \mathrm{~km} kW ⋅ h /100 km 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35
该款电动汽车的电池容量为 60.48 k W ⋅ h 60.48 \mathrm{~kW} \cdot \mathrm{~h} 60.48 kW ⋅ h = 电池容量 ( k W ⋅ h ) 实际能耗 ( k W ⋅ h / 100 k m ) × 100 =\frac{\text { 电池容量 }(\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h})}{\text { 实际能耗 }(\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h} / 100 \mathrm{~km})} \times 100 = 实际能耗 ( kW ⋅ h /100 km ) 电池容量 ( kW ⋅ h ) × 100 （2）请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗 y y y x x x 60 k m / h 和 85 k m / h 之间（含 60 k m / h 和 85 k m / h 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \text{和} 85 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \text{之间（含} 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \text{和} 85 \mathrm{~km} / \mathrm{h} 60 km / h 和 85 km / h 之间（含 60 km / h 和 85 km / h ▶ 查看答案和解析 答案: （1） （2）最符合的是二次函数，函数表达式为： y = 0.002 ( x − 70 ) 2 + 11.55
y=0.002(x-70)^{2}+11.55
y = 0.002 ( x − 70 ) 2 + 11.55 （3）420千米 【解析】
【分析】（1）根据表格描点即可；
（2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可；
（3）根据题意求出实际续航里程 s = 5040 y s=\frac{5040}{y} s = y 5040 y y y s s s y = 0.002 ( x − 70 ) 2 + 11.55 y=0.002(x-70)^{2}+11.55 y = 0.002 ( x − 70 ) 2 + 11.55 60 ≤ x ≤ 85 60 \leq x \leq 85 60 ≤ x ≤ 85 【小问 1详解】
略
【小问 2详解】
解：观察点的分布：数据先降后升，且 ( 50 , 12.35 ) (50,12.35) ( 50 , 12.35 ) ( 90 , 12.35 ) (90,12.35) ( 90 , 12.35 ) ( 60 , 11.75 ) (60,11.75) ( 60 , 11.75 ) ( 80 , 11.75 ) (80,11.75) ( 80 , 11.75 ) x = 70 x=70 x = 70 x = 70 x=70 x = 70 ( 70 , 11.55 ) (70,11.55) ( 70 , 11.55 ) y = a ( x − 70 ) 2 + 11.55 y=a(x-70)^{2}+11.55 y = a ( x − 70 ) 2 + 11.55 ( 60 , 11.75 ) (60,11.75) ( 60 , 11.75 ) 11.75 = a ( 60 − 70 ) 2 + 11.55 11.75=a(60-70)^{2}+11.55 11.75 = a ( 60 − 70 ) 2 + 11.55 a = 0.002 a=0.002 a = 0.002 y = 0.002 ( x − 70 ) 2 + 11.55 y=0.002(x-70)^{2}+11.55 y = 0.002 ( x − 70 ) 2 + 11.55 y = 0.002 x 2 − 0.28 x + 21.35 y=0.002 x^{2}-0.28 x+21.35 y = 0.002 x 2 − 0.28 x + 21.35 1.2 y 1.2 y 1.2 y s = 60.48 1.2 y × 100 = 5040 y s=\frac{60.48}{1.2 y} \times 100=\frac{5040}{y} s = 1.2 y 60.48 × 100 = y 5040 ∴ s \therefore s ∴ s y y y y y y s s s y = 0.002 ( x − 70 ) 2 + 11.55 y=0.002(x-70)^{2}+11.55 y = 0.002 ( x − 70 ) 2 + 11.55 x = 70 x=70 x = 70 60 ≤ x ≤ 70 60 \leq x \leq 70 60 ≤ x ≤ 70 y y y x x x 70 ≤ x ≤ 85 70 \leq x \leq 85 70 ≤ x ≤ 85 y y y x x x 当 x = 60 x=60 x = 60 y = 11.75 y=11.75 y = 11.75 x = 85 \boldsymbol{x}=\mathbf{8 5} x = 85 y = 0.002 × ( 85 − 70 ) 2 + 11.55 = 12 y=0.002 \times(85-70)^{2}+11.55=12 y = 0.002 × ( 85 − 70 ) 2 + 11.55 = 12 60 ≤ x ≤ 85 60 \leq x \leq 85 60 ≤ x ≤ 85 y y y ∴ S 最小 = 5040 12 = 420 k m \therefore S \text{最小} =\frac{5040}{12}=420 \mathrm{~km} ∴ S 最小 = 12 5040 = 420 km 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
二次函数图象与性质 二次函数最值 待定系数法 函数的实际应用(行程·利润·注水等) 数形结合
如图1，△ A B C \triangle A B C △ A B C ⊙ O \odot O ⊙ O D D D A B A B A B A C = A D A C=A D A C = A D C D C D C D ⊙ O \odot O ⊙ O E E E B E B E B E F F F B C B C B C B F = D E B F=D E B F = D E F F F F G ⊥ C E F G \perp C E F G ⊥ C E A B A B A B G G G C D C D C D H H H ∠ C A B = α \angle C A B=\alpha ∠ C A B = α 图1 图2 图3 （1） 用含 α \alpha α ∠ A B E \angle A B E ∠ A B E ∠ F G B \angle F G B ∠ F GB C F = C D C F=C D C F = C D G F = G O G F=G O GF = GO ⊙ O \odot O ⊙ O D 在 O B D \text{在} O B D 在 O B O D = 2 A G O D=2 A G O D = 2 A G A C A C A C ▶ 查看答案和解析 答案: （1） 90 ∘ − 1 2 α ; 1 2 α 90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha ; \frac{1}{2} \alpha 9 0 ∘ − 2 1 α ; 2 1 α O F , O E O F, O E O F , O E ∵ ∠ C E B , ∠ C A B \because \angle C E B, \angle C A B ∵ ∠ C E B , ∠ C A B C B ⌢ \overparen{C B} C B ⌢ ∴ ∠ C E B = ∠ C A B = α ,
\therefore \angle C E B=\angle C A B=\alpha \text {, }
∴ ∠ C E B = ∠ C A B = α , ∵ A B \because A B ∵ A B ∴ ∠ A C B = 90 ∘ , ∴ ∠ A B C = 90 ∘ − α , ∵ ∠ E B D = ∠ A C D = 90 ∘ − 1 2 α , ∴ ∠ C B E = ∠ A B C + ∠ E B D = 90 ∘ − α + 90 ∘ − 1 2 α = 180 ∘ − 3 2 α , ∵ C D = C F , B F = D E , ∴ C E = C B , ∴ ∠ C E B = ∠ C B E = 180 ∘ − 3 2 α ,
\begin{aligned}
& \therefore \angle A C B=90^{\circ}, \\
& \therefore \angle A B C=90^{\circ}-\alpha, \\
& \because \angle E B D=\angle A C D=90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha, \\
& \therefore \angle C B E=\angle A B C+\angle E B D=90^{\circ}-\alpha+90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha=180^{\circ}-\frac{3}{2} \alpha, \\
& \because C D=C F, B F=D E, \\
& \therefore C E=C B, \\
& \therefore \angle C E B=\angle C B E=180^{\circ}-\frac{3}{2} \alpha,
\end{aligned}
∴ ∠ A C B = 9 0 ∘ , ∴ ∠ A B C = 9 0 ∘ − α , ∵ ∠ E B D = ∠ A C D = 9 0 ∘ − 2 1 α , ∴ ∠ C B E = ∠ A B C + ∠ E B D = 9 0 ∘ − α + 9 0 ∘ − 2 1 α = 18 0 ∘ − 2 3 α , ∵ C D = C F , B F = D E , ∴ C E = C B , ∴ ∠ C E B = ∠ C B E = 18 0 ∘ − 2 3 α , 同理：∠ C A B = ∠ C E B \angle C A B=\angle C E B ∠ C A B = ∠ C E B ∴ α = 180 ∘ − 3 2 α ,
\therefore \alpha=180^{\circ}-\frac{3}{2} \alpha \text {, }
∴ α = 18 0 ∘ − 2 3 α , 解得：α = 72 ∘ \alpha=72^{\circ} α = 7 2 ∘ ∴ ∠ C A B = ∠ C E B = ∠ C B E = 72 ∘ , ∴ ∠ B C D = 180 ∘ − 72 ∘ − 72 ∘ = 36 ∘ , ∠ F G B = 1 2 α = 36 ∘ , ∴ ∠ B O E = 2 ∠ B C D = 72 ∘ , ∵ O B = O E , ∴ ∠ O B E = ∠ O E B = 54 ∘ ,
\begin{aligned}
& \therefore \angle C A B=\angle C E B=\angle C B E=72^{\circ}, \\
& \therefore \angle B C D=180^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}, \angle F G B=\frac{1}{2} \alpha=36^{\circ}, \\
& \therefore \angle B O E=2 \angle B C D=72^{\circ}, \\
& \because O B=O E, \\
& \therefore \angle O B E=\angle O E B=54^{\circ},
\end{aligned}
∴ ∠ C A B = ∠ C E B = ∠ C B E = 7 2 ∘ , ∴ ∠ B C D = 18 0 ∘ − 7 2 ∘ − 7 2 ∘ = 3 6 ∘ , ∠ F GB = 2 1 α = 3 6 ∘ , ∴ ∠ B O E = 2∠ B C D = 7 2 ∘ , ∵ O B = O E , ∴ ∠ O B E = ∠ O E B = 5 4 ∘ , ∴ ∠ O E D = ∠ O B F = 72 ∘ − 54 ∘ = 18 ∘ , ∴ △ O E D ≅ △ O B F ( S A S ) ,
\begin{aligned}
& \therefore \angle O E D=\angle O B F=72^{\circ}-54^{\circ}=18^{\circ}, \\
& \therefore \triangle O E D \cong \triangle O B F(\mathrm{SAS}),
\end{aligned}
∴ ∠ O E D = ∠ O B F = 7 2 ∘ − 5 4 ∘ = 1 8 ∘ , ∴ △ O E D ≅ △ O B F ( SAS ) , ∴ ∠ O F B = ∠ O D E = ∠ A D C = ∠ A C D = 90 ∘ − 1 2 α = 54 ∘ , ∠ D O E = ∠ B O F ,
\therefore \angle O F B=\angle O D E=\angle A D C=\angle A C D=90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha=54^{\circ}, \angle D O E=\angle B O F,
∴ ∠ O F B = ∠ O D E = ∠ A D C = ∠ A C D = 9 0 ∘ − 2 1 α = 5 4 ∘ , ∠ D O E = ∠ B O F , ∵ ∠ D O E + ∠ B O E = 180 ∘ , ∴ ∠ B O F + ∠ B O E = 180 ∘ ,
\begin{aligned}
& \because \angle D O E+\angle B O E=180^{\circ}, \\
& \therefore \angle B O F+\angle B O E=180^{\circ},
\end{aligned}
∵ ∠ D O E + ∠ B O E = 18 0 ∘ , ∴ ∠ B O F + ∠ B O E = 18 0 ∘ , ∴ E , O , F \therefore E, O, F ∴ E , O , F ∴ ∠ G O F = ∠ B O E = 72 ∘ , ∴ ∠ G F O = 180 ∘ − ∠ F G O − ∠ G O F = 72 ∘ = ∠ G O F , ∴ G F = G O .
\begin{aligned}
& \therefore \angle G O F=\angle B O E=72^{\circ}, \\
& \therefore \angle G F O=180^{\circ}-\angle F G O-\angle G O F=72^{\circ}=\angle G O F, \\
& \therefore G F=G O .
\end{aligned}
∴ ∠ GO F = ∠ B O E = 7 2 ∘ , ∴ ∠ GF O = 18 0 ∘ − ∠ F GO − ∠ GO F = 7 2 ∘ = ∠ GO F , ∴ GF = GO . （3） 7 − 4 2 7-4 \sqrt{2} 7 − 4 2 【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ∠ A C D = ∠ A D C = 1 2 ( 180 ∘ − α ) = 90 ∘ − 1 2 α \angle A C D=\angle A D C=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\alpha\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha ∠ A C D = ∠ A D C = 2 1 ( 18 0 ∘ − α ) = 9 0 ∘ − 2 1 α O F , O E O F, O E O F , O E ∠ C B E = ∠ A B C + ∠ E B D = 180 ∘ − 3 2 α \angle C B E=\angle A B C+\angle E B D=180^{\circ}-\frac{3}{2} \alpha ∠ C B E = ∠ A B C + ∠ E B D = 18 0 ∘ − 2 3 α C E = C B C E=C B C E = C B α = 180 ∘ − 3 2 α \alpha=180^{\circ}-\frac{3}{2} \alpha α = 18 0 ∘ − 2 3 α α = 72 ∘ \alpha=72^{\circ} α = 7 2 ∘ △ O E D ≅ △ O B F ( S A S ) \triangle O E D \cong \triangle O B F(\mathrm{SAS}) △ O E D ≅ △ O B F ( SAS ) A E , O E A E, O E A E , O E ∠ F G B = ∠ D A E , △ B D E ∽ △ B E O \angle F G B=\angle D A E, ~ \triangle B D E \backsim \triangle B E O ∠ F GB = ∠ D A E , △ B D E ∽ △ B E O B E 2 = B D ⋅ B O B E^{2}=B D \cdot B O B E 2 = B D ⋅ B O Δ F G B ≅ △ D A E ( A A S ) \Delta F G B \cong \triangle D A E(\mathrm{AAS}) Δ F GB ≅ △ D A E ( AAS ) A E = B G A E=B G A E = B G A C = A D = x A C=A D=x A C = A D = x 【小问 1详解】
解：∵ ∠ C A B = α , A C = A D \because \angle C A B=\alpha, A C=A D ∵ ∠ C A B = α , A C = A D ∴ ∠ A C D = ∠ A D C = 1 2 ( 180 ∘ − α ) = 90 ∘ − 1 2 α \therefore \angle A C D=\angle A D C=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\alpha\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha ∴ ∠ A C D = ∠ A D C = 2 1 ( 18 0 ∘ − α ) = 9 0 ∘ − 2 1 α ∠ A B E , ∠ A C E \angle A B E, \angle A C E ∠ A B E , ∠ A C E A E ⌢ \overparen{A E} A E ⌢ ∴ ∠ A B E = ∠ A C D = 90 ∘ − 1 2 α \therefore \angle A B E=\angle A C D=90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha ∴ ∠ A B E = ∠ A C D = 9 0 ∘ − 2 1 α ∵ G F ⊥ C E \because G F \perp C E ∵ GF ⊥ C E ∴ ∠ F G B = 90 ∘ − ∠ A D C = 90 ∘ − ( 90 ∘ − 1 2 α ) = 1 2 α \therefore \angle F G B=90^{\circ}-\angle A D C=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha\right)=\frac{1}{2} \alpha ∴ ∠ F GB = 9 0 ∘ − ∠ A D C = 9 0 ∘ − ( 9 0 ∘ − 2 1 α ) = 2 1 α 【小问 2详解】
略
【小问 3 详解】
解：如图，连接 A E , O E A E, O E A E , O E ∵ ∠ A C B = 90 ∘ , ∠ A C D = ∠ A D C = 90 ∘ − 1 2 α \because \angle A C B=90^{\circ}, \angle A C D=\angle A D C=90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha ∵ ∠ A C B = 9 0 ∘ , ∠ A C D = ∠ A D C = 9 0 ∘ − 2 1 α ∴ ∠ B C E = 1 2 α = ∠ F G B \therefore \angle B C E=\frac{1}{2} \alpha=\angle F G B ∴ ∠ B C E = 2 1 α = ∠ F GB 同理 ：∠ D A E = ∠ B C E = 1 2 α \angle D A E=\angle B C E=\frac{1}{2} \alpha ∠ D A E = ∠ B C E = 2 1 α ∴ ∠ F G B = ∠ D A E \therefore \angle F G B=\angle D A E ∴ ∠ F GB = ∠ D A E 结合（1）可得：∠ A C D = ∠ A D C = ∠ E D B = ∠ O B E = ∠ O E B \angle A C D=\angle A D C=\angle E D B=\angle O B E=\angle O E B ∠ A C D = ∠ A D C = ∠ E D B = ∠ O B E = ∠ O E B ∵ ∠ E B D = ∠ O B E , ∴ △ B D E cos △ B E O , ∴ B D B E = B E B O , 即 B E 2 = B D ⋅ B O ,
\begin{aligned}
& \because \angle E B D=\angle O B E, \\
& \therefore \triangle B D E \cos \triangle B E O, \\
& \therefore \frac{B D}{B E}=\frac{B E}{B O}, \text { 即 } B E^{2}=B D \cdot B O,
\end{aligned}
∵ ∠ E B D = ∠ O B E , ∴ △ B D E cos △ B E O , ∴ B E B D = B O B E , 即 B E 2 = B D ⋅ B O , 同理可得：∠ A E D = ∠ F B G \angle A E D=\angle F B G ∠ A E D = ∠ F B G ∵ B F = D E , ∴ △ F G B ≅ △ D A E ( A A S ) , ∴ A E = B G ,
\begin{aligned}
& \because B F=D E, \\
& \therefore \triangle F G B \cong \triangle D A E(\mathrm{AAS}), \\
& \therefore A E=B G,
\end{aligned}
∵ B F = D E , ∴ △ F GB ≅ △ D A E ( AAS ) , ∴ A E = B G , 设 A C = A D = x A C=A D=x A C = A D = x ∵ A O = 1
\because A O=1
∵ A O = 1 ∴ A B = 2 , B D = 2 − x , O D = x − 1 ,
\therefore A B=2, B D=2-x, O D=x-1,
∴ A B = 2 , B D = 2 − x , O D = x − 1 , ∵ O D = 2 A G
\because O D=2 A G
∵ O D = 2 A G ∴ A G = x − 1 2 ,
\therefore A G=\frac{x-1}{2},
∴ A G = 2 x − 1 , ∴ A E = B G = 2 − x − 1 2 = 5 − x 2 ,
\therefore A E=B G=2-\frac{x-1}{2}=\frac{5-x}{2},
∴ A E = B G = 2 − 2 x − 1 = 2 5 − x , ∴ B E 2 = B D ⋅ B O = 2 − x ,
\therefore B E^{2}=B D \cdot B O=2-x \text {, }
∴ B E 2 = B D ⋅ B O = 2 − x , ∵ A B \because A B ∵ A B ∴ ∠ A E B = 90 ∘
\therefore \angle A E B=90^{\circ}
∴ ∠ A E B = 9 0 ∘ ∴ 2 2 = 2 − x + ( 5 − x 2 ) 2 , ∴ x 2 − 14 x + 17 = 0 ,
\begin{aligned}
& \therefore 2^{2}=2-x+\left(\frac{5-x}{2}\right)^{2}, \\
& \therefore x^{2}-14 x+17=0,
\end{aligned}
∴ 2 2 = 2 − x + ( 2 5 − x ) 2 , ∴ x 2 − 14 x + 17 = 0 , 解得：x = 7 − 4 2 x=7-4 \sqrt{2} x = 7 − 4 2 x = 7 + 4 2 x=7+4 \sqrt{2} x = 7 + 4 2 ∴ A C 的长为 7 − 4 2 .
\therefore A C \text { 的长为 } 7-4 \sqrt{2} \text {. }
∴ A C 的长为 7 − 4 2 . 答案与解析照录原卷(解析版),动图与讲解由浙考通制作。个别题目答案存在争议,以官方标准答案为准 · 内容说明
圆周角定理 同圆半径相等 等腰三角形的性质与判定 圆心角·弧·弦关系 分类讨论
