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第 23 题
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如图，已知锐角三角形 ABC 内接于
⊙
O
,
O
D
⊥
B
C
\odot \mathrm{O}, \mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}
⊙
O
,
OD
⊥
BC
于点 D，连接 OA。
（1）若
∠
B
A
C
=
60
∘
\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}
∠
BAC
=
6
0
∘
，①求证：
O
D
=
1
2
O
A
\mathrm{OD}=\frac{1}{2} \mathrm{OA}
OD
=
2
1
OA
。②当
O
A
=
1
O A=1
O
A
=
1
时，求
△
A
B
C
\triangle A B C
△
A
B
C
面积的最大值。（2）点 E 在线段 OA 上，
O
E
=
O
D
OE=OD
O
E
=
O
D
。连接 DE，设
∠
A
B
C
=
m
∠
O
E
D
,
∠
A
C
B
=
n
∠
O
E
D
\angle \mathrm{ABC}=\mathrm{m} \angle \mathrm{OED}, \angle \mathrm{ACB}=\mathrm{n} \angle \mathrm{OED}
∠
ABC
=
m
∠
OED
,
∠
ACB
=
n
∠
OED
（
m
,
n
\mathrm{m}, \mathrm{n}
m
,
n
是正数）。若
∠
A
B
C
<
∠
A
C
B
\angle \mathrm{ABC}\lt\angle \mathrm{ACB}
∠
ABC
<
∠
ACB
，求证：
m
−
n
+
2
=
0
\mathrm{m}-\mathrm{n}+2=0
m
−
n
+
2
=
0
。
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