求与 $x$ 轴的交点,就是令 $y=0$。别急着套求根公式,先把负号提出来:

所以 $x=-1$ 或 $x=2$,即 $A(-1,0)$、$B(2,0)$。

二次项系数是负数时,先把负号提到括号外面再分解,比硬套公式快,也不容易算错符号。

就是把这个点的坐标代进去,等式要成立。$D$ 的横坐标是 $m$,纵坐标是 $m+1$:

题目要第一象限,横纵坐标都得是正的,所以 $m=1$。

「第一象限」这四个字不是废话 —— 它就是用来帮你从两个解里扔掉一个的。看到两个解先回头找这种限制词。

关键一招:把 $BD$ 朝反方向延长出去。原来的 135° 和延长线那边的角加起来是 180°,所以那边正好是:

45° 我们太有办法了 —— 等腰直角三角形。

碰到 135°、120° 这种「怪角」,第一反应永远是找它的补角。怪角本身没工具,补角有。

橙色那个角就是 135°,虚线是 BD 的反向延长线

从 $B(2,0)$ 到 $D(1,2)$ 是「左 1、上 2」。反过来就是「右 1、下 2」:

这个 $Q$ 是我们自己加的辅助点,位置随便取(只要在延长线上),取整数最省事。

$BQ$ 是「右 1 下 2」。拐 90° 把这两个数对调再给一个负号,就得到两个方向:「右 2 上 1」和「左 2 下 1」。两条的长度都是 $\sqrt{5}$,跟 $BQ$ 一样长。

于是得到两条候选射线:射线① 从 $B$ 过 $(1,-3)$,射线② 从 $B$ 过 $(5,-1)$。

为什么这样就是 45°:因为 $QB=QP$ 且 $\angle BQP=90^\circ$,$\triangle BQP$ 是等腰直角三角形,所以 $\angle QBP=45^\circ$。这就是常说的「一线三垂直」。两边各有一条,两条都得算,不能只挑顺眼的那条。

射线①:过 $(2,0)$ 和 $(1,-3)$,斜率 $3$,即 $y=3x-6$。

$x=2$ 就是 $B$ 自己,舍。另一个 $x=-4$,代回抛物线得 $(-4,\,-18)$。

射线②:过 $(2,0)$ 和 $(5,-1)$,斜率 $-\tfrac13$,即 $y=-\tfrac13(x-2)$。

同样舍掉 $x=2$,得 $\left(-\tfrac23,\,\tfrac89\right)$。

两个点都在抛物线上,也都在「135° 的那条线」上。那是不是两个答案?先别写,下一步见真章。

回到图上看第二个点 $\left(-\tfrac23,\tfrac89\right)$:它在 $B$ 的左上方。可是我们构造的射线②,是从 $B$ 往右下方走的。

也就是说,这个点落在了射线②的反向延长线上。这时候张开的角不是 135°,而是它的补角:

不满足题目,舍掉。再看 $(-4,-18)$:它在 $B$ 的左下方,正好在射线①上,是真的。

根子在这儿:联立方程算的是一整条直线,而题目要的是一条射线(角只朝一边张开)。多出来的那个解,就是从反向的那半边跑出来的。凡是「定角」类的题,算完务必回头看方向 —— 这是这类题最稳定的失分点。

缩小了看,$P$ 掉在左下方很远的地方 —— 这很正常,抛物线开口向下,往左下跑得飞快。

同一张图缩小后的样子