$AB$ 是直径,又垂直于弦 $CD$ —— 这就是垂径定理,直径会把弦平分:

第 (2) 问里 $CD=6$,所以 $CE=ED=3$。

图 1 · 看清楚 E 在 CD 的正中间

$AB$ 和 $CD$ 是圆里相交于 $E$ 的两条弦,相交弦定理给出:

第 (2) 问里就是 AE · EB = 3 × 3 = 9。把这个式子记死,后面三小问都在用它。

忘了定理也能现推:$\triangle AEC\sim\triangle DEB$(同弧所对的圆周角相等),对应边成比例就得到它。

$\square CFBD$ 里,$FB$ 和 $CD$ 是一组对边,所以

而 $ED$ 是 $CD$ 的一半,所以:$ED\parallel FB$,并且 $ED$ 只有 $FB$ 的一半长。

平行四边形每次都只给这两样东西:对边平行、对边相等。看到它就先把这两条写出来,别盯着图发呆。

$ED\parallel FB$,而 $H$ 在 $DF$ 上,于是 $\triangle HED\sim\triangle HBF$,相似比就是

$H$ 在 $E$ 和 $B$ 之间,所以 $HE+HB=BE$,即 $3HE=BE$:

图 2 · H 是 DF 和 AB 的交点,就在 O 上面一点

注意这条跟 $CD$ 多长、半径多大都没关系 —— 只要这个平行四边形在,$EH$ 永远是 $BE$ 的三分之一。(1)、②、③ 全靠它。

题目说 $DF$ 经过 $O$,而 $H$ 就是 $DF$ 与 $AB$ 的交点,$O$ 又在 $AB$ 上 —— 所以 $H$ 和 $O$ 是同一个点。套上一步的结论:

再算 $AE$:

$EH=2$,由钥匙二:

再由钥匙一 $AE\cdot EB=9$:

①里怎么算的,②就怎么写,只是把 2 换成 $x$:

是个反比例函数。按图 2 那种画法($E$ 在 $O$ 上方),$x>1$。

②几乎总是①的字母版。做完①先别急着翻页,想一想「刚才那两步,换成字母长什么样」,②就是白送的。

图 3 · 蓝色那条是 OC,它和 FD 垂直

$OC$ 和 $FD$ 都和 $AB$ 相交。两条互相垂直的线,跟同一条直线的夹角一定互余:

两个互余角的正切互为倒数,也就是它们的正切乘起来等于 1。而这两个角各自待在一个直角三角形里($E$ 处都是直角):

「垂直」在计算题里几乎从不直接用,它总要先变成互余或者相似才好算。这是初中几何里最常用的一次翻译。

上一步得到 $OE\cdot EH=9$,再把钥匙二 $EH=\tfrac13 BE$ 代进去:

设 $AE=y$,$BE=b$。$O$ 是 $AB$ 的中点,所以 $OE$ 就是两段之差的一半:

再用钥匙一 $yb=9$ 代进去,$y$ 就自己消失了:

最后,$AB$ 就是两段加起来,半径是它的一半:

注意最后那一下:$b^2-yb=54$ 里本来有两个未知数,但 $yb$ 整块正好等于 9 —— 不用把 y 单独解出来。看到「两个未知数但其中一块是已知的」,就直接整块代掉。