第 15 题一元二次方程 · 根与系数 · 一步一步

第 15 题

关于

x

的一元二次方程

x^2-2x+c=0

有两个不相等的实数根。若

m

为方程的其中一个实数根,令

n=2m^2-4m+3c-1

, 则

n

的取值范围是 ______。

为什么会卡住:多数人第一反应是「先把

m

解出来」。可这题的

c

是个未知的字母,解出来的

m

带根号, 再塞回

n

里只会越算越乱。
这题的钥匙是:根本不用解出 m。

1「两个不相等的实数根」给了我们什么?

这句话只管一件事:判别式大于 0。

\Delta=(-2)^2-4\times 1\times c=4-4c>0

所以 $c<1$ 。先把这个结论记住,最后一步要用。

2「m 是方程的根」翻译成式子

根的意思就是:把 $m$ 代进方程,等式成立。

m^2-2m+c=0

3把它挪一下 —— 这步是钥匙

m^2-2m=-c

为什么要挪成这样?因为我们要的不是 $m$ 本身, 是 $m^2-2m$ 这一整块。下一步就知道为什么了。

4回头看 n,把那一整块找出来

n=2m^2-4m+3c-1

前面两项 $2m^2-4m$ 提个 2 出来,正好就是第 3 步那一块:

n=2(m^2-2m)+3c-1

5代进去

第 3 步说 $m^2-2m=-c$ ,整块换掉:

n=2\times(-c)+3c-1=-2c+3c-1=c-1

$m$ 全没了,只剩 $c$ 。

6用上第 1 步

第 1 步算出 $c<1$ ,两边同时减 1:

c-1<0 \quad\Longrightarrow\quad n<0

答案:n < 0

这类题的套路:题目给「m 是根」,几乎都不是让你解出 m, 而是让你把

m^2

换成更低次的式子。看见

m^2-2m

和方程里的

x^2-2x

长得一样,就该想到这一招。