2026 浙江省中考数学 · 第 23 题

行驶速度 $x$(km/h)	50	60	70	80	90
基础能耗 $y$(kW·h/100 km)	12.35	11.75	11.55	11.75	12.35

行驶速度 $x$(km/h)

基础能耗 $y$(kW·h/100 km)

12.35

11.75

11.55

11.75

12.35

互动:拖车速 — 上面看能耗抛物线,下面看续航条,找出跑得最近的那个速度

行驶速度:

💡 黑点是表里给的五组数据,蓝色抛物线是拟合出来的函数。中间浅黄的竖条是题目限定的速度范围 $60 \sim 85$。橙点是当前车速,右下角那根横条是当前能跑多远。

📍 当前状态(鼠标悬停 → 图中高亮)

行驶速度 $x$ (km/h,滑杆控制) 85.0

基础能耗 $y$ (kW·h/100km) 12.000

实际能耗 ($= 1.2 y$) 14.400

实际续航 $s$ (km,★ 第 3 问问它) 420.0

🧮 为什么最值在端点

离对称轴 $x=70$ 多远 (越远能耗越大) 15.0

在题目范围内吗 ($60 \le x \le 85$) 在范围内

电池容量 (kW·h,固定) 60.48

📊 三步锁死答案:
表里 $50$ 与 $90$ 能耗相同、$60$ 与 $80$ 能耗相同 $\;\Rightarrow\;$ 对称轴 $x = 70$,顶点 $(70,\,11.55)$
代入 $(60,\,11.75)$ 定出 $a = 0.002$ $\;\Rightarrow\;$ $y = 0.002(x-70)^2 + 11.55$
$s = \dfrac{5040}{y}$,要 $s$ 最小就要 $y$ 最大 $\;\Rightarrow\;$ 取离对称轴最远的端点 $x = 85$ $\;\Rightarrow\;$ $s = 420$

🔑 这题最容易掉的坑:把"能耗最小"当成"续航最小"。它俩正好相反。

① 小问 (2):不用死套一般式,看出对称轴就用顶点式。

先别急着设 $y = ax^2 + bx + c$ 去解三元方程组。先看表:$x=50$ 和 $x=90$ 的能耗都是 $12.35$,$x=60$ 和 $x=80$ 都是 $11.75$ — 两对数值相同的点,说明图象左右对称。
对称轴就在每一对的正中间:$\dfrac{50+90}{2} = 70$,$\dfrac{60+80}{2} = 70$,两次都得 $70$。而 $x=70$ 处的 $11.55$ 是五个数里最小的,所以顶点就是 $(70,\,11.55)$,开口向上。
设 $y = a(x-70)^2 + 11.55$,只剩一个未知数。随便代一个已知点,比如 $(60,\,11.75)$:$11.75 = a \times 100 + 11.55$,得 $a = 0.002$。再拿剩下的点验一遍(比如 $x=50$:$0.002 \times 400 + 11.55 = 12.35$ ✓),确认无误。

② 小问 (3) 第一步:把续航写成只含 $y$ 的式子。

题目给的公式是实际续航 $= \dfrac{\text{电池容量}}{\text{实际能耗}} \times 100$。
电池容量 $= 60.48$(固定),实际能耗 $= 1.2y$。代进去:
$s = \dfrac{60.48}{1.2y} \times 100 = \dfrac{60.48 \times 100}{1.2 y} = \dfrac{5040}{y}$。
这一步之后,速度 $x$ 已经从视野里消失了,续航只跟基础能耗 $y$ 有关。

③ 小问 (3) 第二步:$s$ 最小 $\;\Leftrightarrow\;$ $y$ 最大。这是全题的转折点。

$s = \dfrac{5040}{y}$ 里,分子是正的固定数,分母 $y$ 越大,商就越小。所以要找续航最小,就是去找能耗最大。
很多同学在这儿直接算了 $x=70$(能耗最小那个点),结果得到的是续航最长($\approx 436$ km),刚好答反。动图里点一下"$70$ km/h"那个按钮,能看到红色续航条伸到最长 — 一眼就知道那不是答案。

④ 小问 (3) 第三步:闭区间上求二次函数最大值,看端点离对称轴谁更远。

$y = 0.002(x-70)^2 + 11.55$ 开口向上,对称轴 $x = 70$。区间是 $60 \le x \le 85$,对称轴在区间内部。
开口向上时,离对称轴越远,函数值越大。左端点 $60$ 距离对称轴 $|60-70| = 10$;右端点 $85$ 距离 $|85-70| = 15$。右端点更远,所以最大值在 $x = 85$。
$y_{\max} = 0.002 \times 15^2 + 11.55 = 0.002 \times 225 + 11.55 = 0.45 + 11.55 = 12$。
$s_{\min} = \dfrac{5040}{12} = 420$(千米)。

💡 动图里最能说明问题的一下:面板里那行"离对称轴多远"。 把速度从 $60$ 一路拖到 $85$,盯着这个数字看:它先从 $10$ 降到 $0$(到 $70$ 时最省电、跑最远),再一路涨到 $15$。两个端点不对称 — 右边比左边远,这就是最大值落在右端点的全部原因。
如果题目把范围改成 $60 \sim 78$,左端点距离 $10$、右端点距离 $8$,最大值就会翻到左端点去。闭区间求二次函数最值,永远先画对称轴、再比两个端点的距离,不能想当然。

🎨 第二条思路(不用顶点式,直接比大小): 第 (3) 问也可以不写函数,只用表格和常识:能耗在 $70$ 最低、往两边都升高;题目范围右边伸到 $85$、左边只到 $60$,右边伸得更远,所以能耗的最高点一定在 $x=85$。再算 $x=85$ 的能耗 $=12$、代进续航公式得 $420$。结论一致,但要拿满分还是得把函数表达式写出来 — 因为 $x=85$ 不在表里,不列式子就没法算它的能耗。

套路 1:拿到数据表,先横着扫一遍找"重复的 $y$ 值"。

判断该用哪种函数,不要靠感觉。一次函数的特点是每次 $x$ 增加相同量,$y$ 的增量也相同(等差);反比例函数的特点是 $xy$ 乘积为定值;二次函数的特点是先降后升(或先升后降)且左右对称。
本题:$xy$ 乘积明显不是定值,排除反比例;$y$ 先降后升,排除一次函数;而且 $y$ 值成对重复,对称明显 $\;\Rightarrow\;$ 二次函数。三个候选逐个排除,理由要写出来才拿分。

套路 2:看到成对相等的 $y$ 值,对称轴白送。

$(x_1,\,y)$ 和 $(x_2,\,y)$ 两点 $y$ 相同,对称轴必然是 $x = \dfrac{x_1+x_2}{2}$。表里有两对,算出来都是 $70$ — 互相印证,基本不会错。有了对称轴和顶点,直接用顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$,只剩一个未知数,比设一般式解三元方程组快得多。

套路 3:实际问题求最值,先把目标量写成一个"只含一个变量"的式子。

本题目标是续航 $s$,原始公式里混着电池容量、$1.2$ 倍、乘 $100$。先化简成 $s = \dfrac{5040}{y}$,一眼就能看出 $s$ 和 $y$ 是反着走的。不化简就下手,很容易在一堆数字里迷路。

套路 4:"反着走"的关系,最值也要跟着反过来。

$s$ 随 $y$ 增大而减小 $\;\Rightarrow\;$ 求 $s$ 的最小值,就是求 $y$ 的最大值。这一句必须写在答卷上,它是整道题的逻辑枢纽。同类的还有"用时最短 $\;\Leftrightarrow\;$ 速度最大""单价最低 $\;\Leftrightarrow\;$ 总量最大"等等。

套路 5:闭区间上的二次函数最值,画个草图比背结论稳。

规矩是这样的:开口向上时,最小值看对称轴在不在区间内(在,就是顶点;不在,就是离它近的那个端点);最大值永远在离对称轴远的那个端点。
与其背,不如在草稿纸上画个抛物线、标上对称轴和区间两端,一看就明白。本题对称轴 $70$ 在 $[60,\,85]$ 内部,右端点远 $\;\Rightarrow\;$ 最大值在右端点。

常见易错:

最典型的错:算成 $x=70$(能耗最小处),得续航 $\approx 436$ km。那是续航最长,和问题要的正相反。
直接取区间中点或直接取左端点,没有比较两端到对称轴的距离。
忘了 $1.2$ 倍这个系数,用基础能耗当实际能耗算,得 $5040/12 \times 1.2$ 之类的错数。
$a$ 算成 $0.02$ 或 $0.0002$ — 代入时 $(60-70)^2 = 100$,$0.2 \div 100 = 0.002$,注意小数位。
第 (2) 问只写"二次函数"不写理由。要写明"两对点关于 $x=70$ 对称"这个观察,否则扣分。
答案漏单位"千米",或写成 $420$ kW·h。

记忆口诀(本题专属):

表里找对称,顶点式最快;实际问题先化简成单变量;续航跟能耗反着走,求最小就找最大;闭区间比端点,谁离对称轴远听谁的。