2025 浙江省中考数学 · 第 19 题

互动:拖 $E$ 沿对角线 $B D$ 滑动 — 看 $D E$ 怎么追上 $D A$,$\angle B A E$ 怎么变到 $22.5°$

$E$ 位置:

💡 滑杆控制 $E$ 沿对角线 $B D$ 的位置($0$ 端 $= B$,$1$ 端 $= D$)。$D A = 1$ 不变;当 $D E$ 追上 $D A$ 那一刻,$\triangle D A E$ 变成等腰,$\angle B A E$ 就是 $22.5°$。

📍 长度(鼠标悬停 → 图中加粗)

$D A$ (正方形边,固定 $= 1$) 1.000

$D E$ ($= \sqrt{2}\,(1-t)$,要追上 $D A$) 1.000

$B E$ (对角线上靠 $B$ 这段) 0.414

$A E$ (机翼边,$= C E$ 对称) 0.765

📐 角度(图扇形 hover → 高亮)

$\angle B A E$ (★ 机翼角,答案) 22.5°

$\angle D A E$ ($= 90° - \angle B A E$) 67.5°

$\angle A D E$ ($= \angle A D B = 45°$,固定) 45.0°

$\angle D E A$ ($= 180° - 45° - \angle D A E$) 67.5°

📊 推导链一图看穿:
$\angle A D E = 45°$(正方形对角线)
$\;\Rightarrow\;$ 拖到 $D E = D A$ 时 $\triangle D A E$ 等腰
$\;\Rightarrow\;$ $\angle D A E = \angle D E A = (180° - 45°) \div 2 = 67.5°$
$\;\Rightarrow\;$ $\angle B A E = 90° - 67.5° = 22.5°$

🔑 这道题考三件套:正方形对角线($=45°$)$+$ 全等 $S A S$ $+$ 等腰内角和。

① 小问 (1):$S A S$ 证 $\triangle A B E \cong \triangle C B E$。

把"两边夹角"三块凑齐。一边:$A B = C B$(正方形相邻两边相等)。夹角:$\angle A B E = \angle C B E$($B D$ 是正方形对角线,把 $\angle A B C$ 平分,所以 $\angle A B D = \angle C B D = 45°$;而 $E$ 在 $B D$ 上,$\angle A B E$ 就是 $\angle A B D$、$\angle C B E$ 就是 $\angle C B D$,因此相等)。另一边:$B E = B E$(公共边)。三件齐全 $\;\Rightarrow\;$ $S A S$ $\;\Rightarrow\;$ $\triangle A B E \cong \triangle C B E$。

② 小问 (2) 第一步:把"$\angle A D E$"挖出来 $= 45°$。

$E$ 在对角线 $B D$ 上,所以"从 $D$ 看 $A$ 和 $E$ 的方向"就是"从 $D$ 看 $A$ 和 $B$ 的方向"(因为 $D E$ 和 $D B$ 是同一条射线的一部分)。也就是 $\angle A D E = \angle A D B$。正方形对角线把 $\angle A D C$ 这个 $90°$ 角平分,所以 $\angle A D B = 45°$。因此 $\angle A D E = 45°$,而且这条 $E$ 在哪都成立(看动图:$\angle A D E$ 那块黄色扇形拖 $E$ 也不动)。

③ 小问 (2) 第二步:$D E = D A$ $\;\Rightarrow\;$ $\triangle D A E$ 等腰 $\;\Rightarrow\;$ $\angle D A E = 67.5°$。

题目条件 $D E = D A$ 是说这两条边长相等。在 $\triangle D A E$ 里,这两条边都从顶点 $D$ 出发,所以它们是这个三角形的两腰,$D$ 是顶角,另外两个角($\angle D A E$ 在 $A$、$\angle D E A$ 在 $E$)是底角。等边对等角 $\;\Rightarrow\;$ 两底角相等。三角形内角和 $180°$:$45° + \angle D A E + \angle D E A = 180°$,两底角相等 $\;\Rightarrow\;$ 一个底角 $= \dfrac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。所以 $\angle D A E = 67.5°$。

④ 小问 (2) 第三步:"机翼角"$= \angle B A D - \angle D A E = 22.5°$。

$\angle B A D$ 是正方形在 $A$ 这个顶点的内角,$= 90°$。因为 $E$ 在对角线 $B D$ 上,$A E$ 这条线落在 $\angle B A D$ 这个直角的内部,把它分成两块 $\angle B A E + \angle D A E = 90°$。代入 $\angle D A E = 67.5°$ $\;\Rightarrow\;$ $\angle B A E = 90° - 67.5° = 22.5°$。

💡 看动图找规律:$\angle A D E$ 永远 $= 45°$,这是本题的"不变量"。 无论 $E$ 在 $B D$ 上哪儿,$\angle A D E$ 都是 $45°$(因为 $E$ 始终在射线 $D B$ 上,而 $\angle A D B$ 由正方形固定)。这就是本题能用"等腰 $+$ 内角和"两步秒掉的关键。试着把 $E$ 拖到 $B D$ 中点 — $D E \approx 0.707 \lt D A = 1$,$\triangle D A E$ 不等腰,但 $\angle A D E$ 还是 $45°$;再拖到 $E$ 靠 $D$ — $D E$ 很小,$\angle D A E$ 接近 $\angle A D E = 45°$ 的对面方向($\approx 90°$)。

🎨 第二条思路(代数 $+$ 三角): 设正方形边 $= 1$,把 $A$ 放原点,$\angle B A E$ 记为 $\theta$。$E$ 在 $B D$ 上让 $\tan\theta = \dfrac{B E}{A B}$ 等关系成立;再用 $D E = D A$ 列方程能解出 $\tan\theta = \sqrt{2} - 1$,这正是 $\tan 22.5°$ 的精确值($\tan 22.5° = \sqrt{2} - 1$,半角公式 $\tan\dfrac{45°}{2}$ 的常见结果)。这条思路结论一致,但对初中生没必要 — 用几何"等腰 $+$ 内角和"两步就够,纯几何更优雅。

套路 1:看到「正方形对角线」立刻写 $45°$ 角。

正方形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C$、$B D$ 把每个 $90°$ 内角都平分成两个 $45°$ 角:$\angle A B D = \angle C B D = \angle A D B = \angle C D B = \angle B A C = \angle D A C = \angle B C A = \angle D C A = 45°$。本题用到的 $\angle A B D = 45°$(证全等的夹角)和 $\angle A D B = 45°$(算等腰底角)都从这条性质来。看到对角线立刻标 $45°$,基本款。

套路 2:"点在对角线 / 线段上"$=$ 角度可以替换。

题目说"$E$ 在 $B D$ 上",这是共线条件。结果:从某个点($A$ 或 $D$)看 $E$ 和看 $B$ / $D$ 是同一个方向(只要 $E$ 不在端点)。本题两处用到:

从 $D$ 看:$\angle A D E = \angle A D B = 45°$。这是 $\angle A D E$ 这个角"不变"的根源。
从 $B$ 看:$\angle A B E = \angle A B D = 45°$。这是小问 (1) 全等的夹角。

套路 3:看到「两条边相等」立刻识别等腰 $\;\Rightarrow\;$ 底角相等。

$D E = D A$ 是题目给的等边条件。识别 $\triangle D A E$ 是以 $D$ 为顶角顶点的等腰三角形 $\;\Rightarrow\;$ 底角 $\angle D A E = \angle D E A$。等腰 $+$ 内角和是中考几何的"基本款 $\times$ 基本款",大量几何题都靠这两步。

套路 4:$S A S$ 全等的"夹角"要找仔细。

$S A S$ 的"夹角"必须是两条已知相等边的夹角。本题:$A B$ 和 $B E$ 的夹角是 $\angle A B E$,$C B$ 和 $B E$ 的夹角是 $\angle C B E$。要证的"夹角相等"就是这两个。不少同学会错找成 $\angle A B D$ 或 $\angle E B C$ 的其他写法 — 关键看哪个角夹在两条对应的已知边之间。

常见易错:

用 $\angle B A E = \angle B A D - \angle D A E$ 时忘了减谁,写成 $\angle B A E = \angle D A E - \angle B A D$ 得负数。看图:$E$ 在 $\angle B A D$ 内部,$A E$ 把 $\angle B A D$ 分成 $\angle B A E + \angle D A E$,所以是大减小。
$\angle D A E$ 算成 $\dfrac{180° - 90°}{2} = 45°$ — 错把顶角当成 $\angle B A D = 90°$。顶角是 $\angle A D E = 45°$(等腰 $\triangle D A E$ 的顶角在 $D$,因为 $D E$、$D A$ 是从 $D$ 出发的两腰)。
证全等漏写"$E$ 在 $B D$ 上 $\;\Rightarrow\;$ $\angle A B E = \angle A B D$"这一步,直接说"$\angle A B E = \angle C B E = 45°$" — 跳步,严格答题要补上 $E$ 共线的推导。
把答案写成 $\angle B A E = 67.5°$ — 把 $\angle D A E$ 当成答案。题目问的是"机翼角" $\angle B A E$,不是 $\angle D A E$。看图看清楚:机翼角是靠近 $B$ 的那一块,是小角。

记忆口诀(本题专属):

正方形对角 $\;\Rightarrow\;$ $45°$;共线 $\;\Rightarrow\;$ $\angle A D E = 45°$;等腰 $+$ 内角和 $\;\Rightarrow\;$ $\angle D A E = 67.5°$;直角减底角 $\;\Rightarrow\;$ $\angle B A E = 22.5°$。一气呵成。